OSN Matematika Olimpiade

ini contoh soal yg aku dapat dr web lain waktu mau olimpiade :)

7.      Diketahui P = { pembagi   12 } . Banyaknya himpunan bagian yang mempunyai 4 anggota adalah …
          Jawab :
P = { 1, 2, 3, 4, 6, 12 }, maka banyaknya anggota himpunan P atau n(P) = 6, banyaknya himpunan bagian dari P yang mempunyai  4 anggota, sama dengan kombinasi  yang terdiri 4 unsur dari 6 unsur yang berbeda tersebut.

                                                                                                                                                            (D)
          Catatan : Bedakan banyaknya semua himpunan bagian dari P adalah 2^n(P)
 10.    Rumus fungsi dari grafik pada gambar di bawah ini  adalah

         Jawab :
          Perhatikan grafik fungsi linear  berikut :
 

  f(x) = mx + c ,   dimana  m = gradien  , dan c  sebagai  konstanta
Grafik fungsi f(x) memotong Sumbu-Y  di titik (0, c).
maka dari soal tersebut diperoleh c =1  dan

Jadi   f(x) = 3x +1                (D)

11.    Suatu fungsi  f(x) = x² + 4x -5  , memiliki daerah asal  { x |-6 ≤ x ≤ 2 , x ε R }, maka daerah hasil
          Fungsinya adalah …
          Jawab :
          Analisa soal terlebih dahulu ! Apakah nilai x pembuat fungsi  f(x) = x² + 4x -5  bernilai minimum
termasuk anggota Domain fungsi tersebut atau tidak ?  yaitu,         ,      karena x= -2  termasuk anggota Domain fungsi , maka hitung nilai minimum (paling kecil) dari fungsi itu yaitu,
 f(-2) = (-2)²+ 4(-2) – 5 = 4 -8 -5 = -9 . 
 selanjutnya hitung nilai fungsi untuk nilai x =-6 dan x=2 .
f(-6) = (-6)²+ 4(-6) -5 = 36 – 24 – 5 =7 , sedangkan f(2) = 2² +4(2) -5 = 4 +8 -5 = 7.
Jadi daerah hasil fungsi  untuk domain tersebut adalah { f(x) | -9  ≤ f(x)  ≤ 7 , f(x) anggota R }                   (A)
  12.  Diketahui suatu rumus fungsi  adalah f(x) = ax + b .  Jika nilai f(3) = 8  , dan  f(-2) = -7 ,  maka
          Nilai  a dan  b  berturut-turut  adalah ….
          Jawab :
          Ini  jenis  soal rutin nyatakan secara eksplisit nilai dari  f(3)  dan f(-2), diperoleh dua persamaan
          Linear yang simultan, selanjutnya gunakan salah satu metode eliminasi atau substitusi untuk
mendapatkan nilai-nilai  a dan b  seperti berikut ini :
                    f(3)  = 3a + b    = 8
                   f(-2)= -2a + b   = -7  -  (dikurangi) 
 ——————————— 
                                5a            = 15
                                       a       =  3   dan  b = 8 -3a = 8 – 3.2 = 8 – 6 = 2
          Jadi nilai  a = 3,  dan  b = 2
14.    Kakak mempunyai  60  kereleng yang berwarna merah, kuning , dan hijau. Jika kelereng merah
          berbanding jumlah kereleng   adalah  4 : 15 , dan  kelereng kuning berbanding jumlah kereleng
          adalah  2 : 5  , banyak  kereleng  hijau  adalah …. butir .
          Jawab :
          Buatlah rasio nya  sama !      JK : Jumlah Kelereng, M : jumlah kelereng merah, K : jumlah kelereng kuning,
H : jumlah kelereng hijau.
          M : JK = 4 : 15  ,        sedangkan       K : JK = 2 : 5 = 6 : 15,  karena jumlah rasionya = 15, maka
 H : JK = 5 : 15

17.    Tiga orang satpam bertugas jaga malam. Satpam A ditugaskan empat hari sekali, satpam B
          Enam hari sekali, dan satpam C seminggu sekali. Jika mereka bertugas pertama kali pada tanggal
          25 Maret  2009,  pada tanggal  berapakah mereka akan bertugas bersama-bersama untuk kedua kalinya ?
          Jawab :
          Soal ini penerapan dari  KPK tiga bilangan  4, 6, dan 7 , dalam bentuk soal cerita .
Hitung  KPK dari  4 dan 6  adalah 12 , selanjutnya cari KPK dari 12 dan 7 ? Karena FPB dari 12 dan 7 adalah 1, maka KPK dari  12 dan 7 adalah  7 x 12 = 84.
Dengan demikian KPK dari  4, 6, 7  adalah 84.  Sehingga 84 hari setelah tanggal 25 Maret 2009 mereka  akan bertugas bersama-sama untuk kedua kalinya.
          84 – ((31- 25) + 30 + 31) = 84 – 67 = 17,  dimana  31 adalah jumlah hari pada bulan Maret dan Mei
                                                                                    30 adalah jumlah hari pada bulan April 
          Jadi  pada tanggal 17 Juni 2009 , mereka akan bertugas bersama-bersama untuk kedua kalinya.
 22.    Tiga buah bilangan cacah, bilangan pertama sama dengan sepertiga dari jumlah kedua bilangan yang lain, bilangan kedua sama dengan setengah jumlah kedua bilangan yang lain, dan bilangan ketiga sama dengan enam lebih besar dari bilangan pertama.
          Maka hasil jumlah ketiga bilangan tersebut adalah ….
          Jawab :
          Misalkan  ketiga bilangan cacah tersebut  adalah  a  ,  b,  dan  c .
          Ditanyakan :  a + b + c = …?
          Nyatakan soal cerita tersebut ke dalam kalimat matematika yang membentuk tiga persamaan linear simultan.
                   a = 1/3 ( b + c )         ………………………… 1)
                   b = 1/2 ( a + c )         ………………………… 2)
                   c = a + 6                       ………………………… 3)
          Tentukan salah satu metode yang tepat untuk menyelesaikan sistem persamaan  linear 3 variabel ini.
Dengan metode substitusi persamaan 2) dan 3) ke persamaan 1) diperoleh :
                   a = 1/3 [ 1/2 ( a + c ) + a + 6 ]
                   a = 1/3 [ 1/2 ( a + a + 6 ) + a + 6 ]
                   a = 1/3 [ 1/2 ( 2a + 6 ) + a + 6 ]
                   a = 1/3 (a + 3 + a + 6 )
                   a = 1/3 ( 2a + 9 )
                3a = 2a + 9
                   a = 9                    maka, c = a + 6 = 9 + 6 = 15 ,   dan b = 1/2 (a + c ) = 1/2 ( 9 + 15 ) = 12
                   Jadi  bilangan-bilangan cacah tersebut adalah 9 ,  12  , dan 15
          Sehingga  Jumlah ketiga bilangan tersebut = 9 + 12 + 15 = 36

23.    Hasil dari                  adalah…
          Jawab :



24.    Bentuk rasional dari                            adalah ….
          Jawab :

 Bentuk rasional  yaitu bentuk             ,  bedakan dengan bilangan Rasional , ini bukan bilangan Rasional  tapi bilangan Irrasional .

Ubah bilangan yang berada di dalam tanda akar tersebut  ke dalam bentuk pecahan biasa, lalu nyatakan kesamaan pecahan itu dalam bentuk bilangan kuadrat ! 
         
       
25.    Rumus suku ke-n  dari  barisan ;                  adalah ….  
          Jawab :

1. Untuk soal pilihan ganda kita dapat mencoba satu persatu (try and error) mana dari pilihan jawaban yang memenuhi dengan mensubstitusi nilai  n = 1, 2, 3, 4, …. atau  n  anggota bilangan Asli.
2. Jika harus merumuskan suku ke-n  barisan itu, perhatikan barisan itu ! Barisan tersebut berbentuk pecahan dengan  pembilangnya tetap yaitu 1 , selanjutnya fokus kita merumuskan barisan bilangan sebagai penyebutnya yaitu;   2 , 4, 8, 16 , ….  Ini disebut barisan geometri.

Jika kita amati  suku-2  diperoleh dari suku ke-1 dikali 2, demikian pula suku ke-3 diperoleh dari suku ke-2 dikali 2, dan seterusnya. Dapat ditulis sbb:
Suku ke-1 = 2                                                    = 2¹
Suku ke-2 = 4 = suku ke-1 x 2  = 2 x 2       = 2²
Suku ke-3 = 8 = suku ke-2 x 2  =  2² x 2    = 2³
Suku ke-4 = 16 = suku ke-3 x 2= 2³ x 2    =2⁴
Suku ke-n= .                                                     = 2ⁿ
Jadi Rumus suku ke-n barisan tersebut  adalah              
26.    Jumlah 10  suku pertama dari barisan  4 , 7,  10 , 13 ….. adalah ….
          a.      Jumlah 10 suku pertama dari barisan tersebut yaitu,  4+7+10+13+16+19+22+25+28+31= 175
          b.      Dengan Rumus
                    Barisan ini termasuk barisan Aritmetika
 dengan suku ke-1   a = 4 , dan beda = b = 7 – 4 = 10 – 7 =3
                    maka,      S_n = 1/2 . n ( 2.a + (n – 1) b)
                     S₁₀ = 1/2 .10 ( 2.4 + (10 – 1) 3) = 5 ( 8 + 27 ) = 5 x 35 = 175.
27.    Jika  x₁ dan  x₂   merupakan akar-akar persamaan  2x² + 3x – 5 = 0 ,  maka   x₁ + x₂ = ….
          a.      Cara dengan menggunakan rumus
                   Jika  x₁ dan  x₂   merupakan akar-akar persamaan  ax² + bx + c = 0 , maka  x₁ + x₂ = -b/a . dan
                                                                                                                                                                    x₁ . x₂  = c /a
                   Berdasarkan soal  tersebut  diperoleh  a = 2 , dan b = 3 , sehingga x₁ + x₂ = -3/2
b.   Cara dengan mencari nilai  x₁ dan  x₂  yang merupakan akar-akar dari 2x² + 3x – 5 = 0 , kemudikan jumlahkan .
Dengan memfaktorkan bentuk  2x² + 3x – 5 = (2x+ 5)(x –1) = 0
                                                                                        2x + 5 =0 , atau         x – 1= 0                                                                                                                                           x₁=-5/2  atau        x₂ = 1        ,   maka nilai  x₁ + x₂ = -5/2 + 1 = -3/2
SOAL-SOAL  GEOMETRI
31.    Nilai y  pada gambar di bawah  adalah ….

          Jawab :
          Soal ini tergolong rutin , gunakan konsep kesebangunan segitiga-segitiga.
          Untuk memudahkan perhitungan, berikan nama titik2 sudut bangun tersebut seperti dibawah ini :

Perhatikan  segitiga ABC  sebangun dengan segitiga  ADE , ( sd-sd-sd ),  akibatnya perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sebanding. (tuliskan sisi-sisi yang memuat  EC yaitu   AE)

                   

                                                                       

                                                                                                    10 + y = 3/2 x 10
                                                                                                 10 + y = 15,  maka  y = 5
32.                        
          Pada gambar diatas, besar sudut BCD = ….
          Jawab :
Kita cari hubungan sudut BCD dengan sudut-sudut yang diketahui tidak ada hubungan sama sekali, kecuali kita buat (konsruksi) garis tertentu sehingga terbentuk adanya hubungan sudut-sudut  seperti tampak berikut ini :

          Buat  garis l  melalui titik B  sejajar  k dan m  sehingga memotong segmen garis CD  di titik E.
          Sehingga  besar sudut ABE = sudut BAG = 40⁰, karena besar sudut ABC = 30⁰, maka besar sudut CBE= 10⁰.
          Besar sudut  CEF = besar sudut EDH = 80⁰ (pasangan sudut sehadap)
          Perhatikan segitiga  CBE !
          Besar sudut BCE + sudut CBE = sudut CEF    (ingat sudut luar segitiga CBE)
          Besar sudut BCE      = besar sudut CEF – besar sudut CBE
          Besar sudut BCD     =  80⁰ – 10⁰ = 70⁰

 33.   Perhatikan gambar berikut !

Luas jajargenjang pada gambar ABCD  288 cm².   Jika panjang AB = 36 cm , dan panjang BF = 18 cm, maka keliling jajargenjang ABCD  adalah ……
          Jawab :

Karena segiempat ABCD adalah jajargenjang, maka  panjang AB = CD, panjang AD = BC, sehingga untuk menghitung keliling  jajargenjang ABCD tinggal menghitung panjang AD sebagai berikut :

          Perhatikan segitiga ABD !
                   Luas segitiga ABD    =       1/2  luas jajargenjang ABCD
                   1/2 x AD x BF            =       1/2 x 288
                   1/2 x AD x  18            =       144
                                                AD    =       144/9
                                                AD    =       16
          Keliling jajargenjang ABCD   = 2 x( AB + AD)         = 2 x ( 36 + 16 ) = 2 x 52 = 104  cm
34.    Perhatikan gambar berikut !

          Pada gambar diatas panjang DE   adalah ….
          Jawab :
          Pada soal seutuhnya  titik D tidak ada, keterangan E  titik tengah ED atau BE garis berat  tidak ada !
          Jadi kita klaim bahwa titik D disitu dan E titik tengah AD, sehingga bisa kita hitung panjang AD .
Kita hitung dengan pendekatan luas daerah segitiga yang diketahui panjang sisi-sisinya atau dikenal dengan Formula Heron’s  dimana  s = 1/2 keliling segitiga
          S = 1/2 ( 30 + 28 + 26 ) = 15 + 14 + 13 = 42
                   Luas segitiga ABC    =             
                   1/2 x BC x AD            =            
                   1/2 x 28  x   AD          =            
                             14  x  AD            =      
                             14  x  AD            =       6 x 7 x 2 x 4
                                                 AD    =       6 x 4,         maka  panjang DE = 1/2 x AD = 1/2 x 24 = 12 cm
35.    Perhatikan gambar berikut !

          Segitiga ABCD siku-siku di B . Maka panjang garis berat  BD  adalah ….
          Jawab :
anjang garis berat yang ditarik dari salah satu titik sudut segitiga sembarang dapat dihitung apabila panjang ketiga sisi segitiga diketahui.  Dengan teorema pythagoras diperoleh panjang AC = 17 cm
          Sedikitnya ada tiga type pola berpikir pebelajar matematika dalam menjawab soal seperti ini

• Type Pertama yang selalu mengandalkan hapalan rumus, ini kelompok bimbel-bimbel yang membekali siswanya dengan rumus-rumus praktis, siap pakai dalam menjawab berbagai kasus soal. Pertanyaan yang mendasar seberapa lama dan kuat memori otak manusia harus mengingat kasus dan rumus ?? Manakala rumus yang berkaitan dengan soal yang ada tidak ingat alias lupa, menyerahlah tanpa usaha lain (tidak sedikit type pebelajar seperti ini) .

Yang digunakan adalah   Formula Stewart
Pada sembarang segitiga ABC  , jika BD adalah garis yang memotong AC di titik D, dimana AD = b₁  dan  DC = b₂ , maka  berlaku hubungan  :

                   BD² x AC = b₂ c² + b₁ a² – b₁.b₂.AC
                  Berdasarkan soal tersebut karena  BD  garis berat, titik D ditengah-tengah AC sehingga, b₁= 7,5  dan  
 b₂= 7,5 . dengan demikian
                  BD². 17     =  7,5 x 15² + 7,5  8² – (7,5 x 7,5)17
                  BD² . 17    = 7,5( 15² + 8² ) – 7,5² x 17
                  BD² . 17    = 7,5 x 17² – 7,5² x 17
                            BD²            = 17. 7,5 – 7,5²
                            BD²  = 2 x 7,5² – 7,5²
                            BD²  =  7,5²
                            BD    =  7,5  cm

• Type kedua , selalu cerdas dan tak kenal menyerah dalam memjawab soal, walaupun tak ingat atau mengenal rumus stewart tersebut . Type pebelajar seperti ini yang smart (cerdas) selalu menggunakaan pengalaman belajarnya dalam memecahkan masalah.

Dengan menggunakan teorema Pythagoras untuk menghitung panjang garis BD.

Buat garis  tinggi dari titik B tegak lurus AC  dititik E, dan misalkan panjang EC = x , maka
DE = 7,5 – x ,  AE = 17 – x .
Perhatikan segitiga AEB  , berdasarkan teorema Pythagoras berlaku hubungan :
BE² = AB² – AE²
BE² = 15² – (17 – x)²  ………………………………………………………    (1     
sedangkan pada segitiga  CEB berlaku hubungan
BE² = BC² – CE²
BE² = 8² – x²              ………………………………………………………..     (2 
Dari persamaan (1  dan (2  diperoleh :
15² – (17 – x)²            = 8² – x²  
15² – 17² + 2. 17x – x²     = 8² – x²
                            2 . 17x       = 8² + 17² – 15²
                            2 . 17x       = 64 + 289 – 225
                            2 . 17x       = 64 + 64
                                      17x   = 64
                                      x       = 64/17,   sehingga  BE² = 8² – (64/17)²
Perhatikan segitiga BED siku-siku E , maka berdasarkan teorema Pythagoras
         BD²  = BE² + DE²
         BD²  = 64 – (64/17)² + (17/2 – 64/17)²
         BD²  = 64 + (17/2)² – 2 x (17/2) (64/17)
         BD²  = 64 + (17/2)² – 64
         BD²  = (17/2)²,                    jadi panjang BD = 17/2 = 7,5 cm 
Selain cara ini, dapat juga dicari  dengan mengunakan kesebangunan segitiga-segitiga !

• Type yang ketiga, type yang memiliki pola berpikir sangat cerdas (very smart), karena soalnya segitiga siku-siku di B, maka yang dilakukan membuat lingkaran yang berpusat di titik D dan panjang jari-jari DA, sehingga lingkaran tersebut akan melalui titik A, B , dan C. Seperti berikut

 
 Karena D pusat lingkaran , sudut ABC adalah sudut keliling lingkaran yang menghadapi busur setengah lingkaran (diameter) dan besarnya 90⁰, dengan demikian lingkaran ini sudah memenuhi kriteria soal , sehingga panjang BD = panjang DA = panjang CD = 17/2 =7,5 cm.
36.   Lihat gambar !

         Diketahui  PQ = PR = 20 cm   dan  PU = 12  cm,  maka  panjang  TU  adalah ….
         Jawab :
         Lengkapi gambar dengan data-data yang diketahui seperti berikut :

Gunakan Kesebangunan segitiga-segitiga, ada tiga segitiga yang sebangun tetapi gunakan segitiga yang panjang sisi-sisinya diketahui . Perhatikan segitiga PUQ  sebangun dengan segitiga TUR (sd-sd), akibatnya :
   
             
                        
         Jadi panjang TU = 6 cm.

37.   Lihat gambar !                                                Pada lingkaran berikut  titik O adalah pusat lingkaran.
                                                       besar sudut BOC = 126⁰.
                        Maka besar sudut  ABC adalah ….
        Jawab:
         Ini soa rutin sudut ABC adalah sudut keliling yang menghadapi busur AC. Temukan besar sudut pusat yang menghadap busur AC yaitu sudut AOC.
         Besar sudut  AOC =180⁰ – besar sudut BOC = 180⁰ – 126⁰ = 54⁰
         Besar sudut ABC = 1/2 x besar sudut AOC = 1/2 x 54⁰ = 27⁰

38.    Tiga kaleng cat yang berdiameter  10 cm  diikat dengan seutas tali seperti pada gambar berikut:
         Maka panjang tali minimal untuk mengikat kaleng cat tersebut adalah ….

  
         Jawab :
Ini  soal klasik artinya sejak penulis dibangku SMP , bahkan pernah diujikan dalam seleksi Ujian masuk perguruan Tinggi Negeri .  Ini soal mencari panjang garis singgung persekutuan luar antara dua lingkaran dan panjang busur-busur lingkaran.
         Langkah awal tentukan dan beri nama titik-titik pusat ketiga lingkaran serta titik-titik singgungnya.
         Buat garis penghubung ketiga pusat lingkaran dan jari-jari ke titik-titik singgungnya seperti gambar berikut :

 Jika K , L, dan M adalah titik-titik pusat lingkaran, maka segitiga KLM adalah segitiga sama sisi dengan panjang sisi-sisinya sama dengan panjang diameter lingkaran. Dan diketahui bahwa besar sudut-sudut dalam segitiga sama sisi 60⁰.

Perhatikan segiempat AKMF, BKLC, dan DLME adalah persegipanjang yang kongruen. Sehingga panjang AF = panjang KM = panjang BC = panjang KL = panjang DE = panjang LM = panjang diameter.
         Besar sudut pusat AKB = besar sudut pusat CLD = besar sudut pusat EMF = 360⁰ – (90⁰+90⁰+60)= 120⁰.
         Dengan demikian panjang garis luar yang melilit ketiga lingkaran yang bersinggungan tersebut
        


Jika d = panjang diameter lingkaran, maka dapat ditulis:
         = 3 x d  + π d   = d ( π + 3)       Gunakan rumus ini untuk panjang diameter lingkaran yang sama !!
         Jadi panjang tali minimal yang mengikat ketiga kaleng cat = 10 ( 3,14 + 3) = 10 x 6,14 = 61,4 cm

42.   Panjang diagonal ruang sebuah balok yang berukuran  5 cm x 4 cm x 3 cm  adalah … cm.
         Jawab :
         Untuk memudahkan buat sketsa gambar balok berikut ukuran-ukurannya!
                                                                            AG  adalah salah satu diagonal ruang balok ABCD.EFGH
         Perhatikan segitiga ABC siku-siku di B, maka menurut teorema Pythagoras
         AC² = 5² + 4² = 41
         Perhatikan segitiga ACG  siku-siku di C, maka

Jadi panjang diagonal ruangnya adalah            cm
44.    Lihat tabel berikut !

Nilai Ujian	4	5	6	8	10
Frekuensi	20	40	70	a	10

          Dari tabel di atas, nilai rata-rata ujian Fisika adalah 6.  Maka nilai a  adalah…
         Jawab:
         Frekuensi artinya banyaknya data tunggal dari tabel tersebut, misalnya  nilai 4 ada sebanyak 20.
         Dalam matematika nilai rata-rata dirumuskan sebagai berikut :






SOAL-SOAL  PELUANG
47.   Sekumpulan kartu yang bernomor  1, 2, 3, 4, …, 10  diambil secara acak. Berapakah  peluang terambilnya kartu bernomor prima ?
         Jawab :
         Dari redaksi soal tersebut kartu yang diambil satu.
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} , maka n(S) = 10. Dan misalkan kejadian terambilnya kartu bernomor prima  adalah  A = { 2, 3, 5, 7 }, maka  n(A) = 4.
         Jadi peluang terambilnya kartu bernomor prima  adalah  
48.   Suatu huruf dipilih secara acak dari huruf-huruf pembentuk kata “ K R A K A T A U “, berapakah peluang bahwa kartu yang dipilih adalah huruf A ?
         Jawab :
         Misalkan ruang sampelnya  adalah S={ K, R, A, K, A, T, A, U }, maka n(S)= 8
         Jika  A adalah kejadian terpilihnya kartu huruf “A”, maka  P(A) = 3/8
49.   Suatu kotak berisi  5 kelereng merah dan 3 kelereng putih.  Dua kelereng diambil satu persatu, dan kelereng pertama yang diambil dikembalikan lagi ke dalam kotak. Peluang terambilnya kelereng pertama dan kedua berwarna merah adalah …
         Jawab :
         Misalkan  A adalah kejadian terambilnya kelereng pertama berwarna merah, dan
          Misalkan  B adalah kejadian terambilnya kelereng kedua berwarna merah.
Karena kelereng  pertama yang diambil dikembalikan lagi ke dalam kotak, maka kejadian A dan B dikatakan dua kejadian yang saling bebas, artinya terjadinya atau tidak terjadinya kejadian A tidak akan mempengaruhi kemungkinan terjadinya kejadian B.
         Sehingga peluang terambilnya kelereng pertama dan kedua berwarna merah ditulis :
         P ( A dan B) = P(A) x P(B) = 5/8  x 5/8 = 25/64
50.   Sebuah pabrik mempunyai karyawan 2.000  orang. Jika kemungkinan karyawan tidak hadir 0,03 maka banyaknya karyawan yang tidak hadir  adalah …
         Jawab :
         Ini soal Frekuensi Ekspektasi (frekuensi harapan)
         Banyaknya karyawan yang tidak hadir           = Peluang tidak hadir x banyaknya karyawan
                                                                                      =  0,03  x  2.000 = 60  orang.